El truco ‘asombroso’ de este profesor facilita las ecuaciones cuadráticas


La ecuación cuadrática ha frustrado a los estudiantes de matemáticas durante milenios. Pero un profesor de matemáticas de la Universidad Carnegie Mellon en Pittsburgh puede haber encontrado una mejor manera de resolverlo.

“Cuando me topé con esto, me quedé completamente conmocionado”, dijo el profesor, Po-Shen Loh.

Las cuadráticas, que se introducen en las clases de álgebra elemental, aparecen a menudo en física e ingeniería en el cálculo de trayectorias, incluso en los deportes. Si, mientras miraba el Super Bowl, hubiera querido estimar qué tan lejos viajó un pase lanzado por Patrick Mahomes por el aire, habría estado resolviendo una ecuación cuadrática. Las ecuaciones también aparecen en los cálculos para maximizar las ganancias, una consideración clave para cualquiera que quiera tener éxito en los negocios.

El Dr. Loh no ha descubierto algo completamente nuevo. De hecho, su método combina ideas que se remontan a miles de años en los babilonios. Pero no es así como los libros de texto de álgebra modernos presentan el tema.

“Descubrir que existe este truco de hace miles de años que se puede importar aquí es asombroso para mí”, dijo el Dr. Loh. «Quería compartir eso lo más ampliamente posible».

El Dr. Loh es mentor de algunos de los mejores estudiantes de matemáticas de secundaria del país como entrenador del equipo de la Olimpiada de Matemáticas de los Estados Unidos. Pero también quiere mejorar la enseñanza de todos los estudiantes de matemáticas.

«Todos asumen que las únicas personas con las que trabajo son estudiantes de las Olimpíadas», dijo el Dr. Loh, fundador del sitio web educativo. Expii. «Eso no es cierto. Mi pasión son todos ”.

Hace unos meses, el Dr. Loh publicó en línea un artículo que describe su método, y los profesores ya lo han probado en sus aulas.

«Me sorprendió mucho que la mayoría de ellos lo entendieran», dijo Bobson Wong, profesor de matemáticas en Bayside High School en Queens, Nueva York, quien usó el enfoque en una clase de álgebra donde muchos estudiantes temen a las matemáticas. «Pudieron hacerlo por su cuenta».

El estallido de discusión pedagógica sobre ecuaciones cuadráticas destaca la capacidad de Internet para difundir rápidamente nuevas ideas de enseñanza.

«Es la innovación en la educación la que se persigue de la manera correcta», dijo Michael Driskill, director de operaciones de Math for America, una organización que reconoce a los mejores maestros y les brinda foros para intercambiar ideas. (El Sr. Wong es una de las personas que Math for America ha designado como maestro principal).

Driskill dijo que el Dr. Loh no proclamó que tenía algo definitivamente mejor, sino que, en cambio, «se lo comunicó a los maestros y preguntó: ‘¿Funciona en el aula?'»

Primero, un repaso rápido sobre ecuaciones cuadráticas y parábolas.

Antes de que a los estudiantes se les presente la fórmula cuadrática, se les enseña un método más simple para resolver ciertas ecuaciones. Para simplificar, consideraremos una ecuación donde a = 1.

Quizás recuerde que su maestro le pidió que factorizara el revoltijo de símbolos. Es decir, esperabas encontrar dos números. r y s tal que

Multiplicando (Xr) (Xs) produce X² – (r + s)x + rs.

La clave es encontrar r y s tal que la suma de r y s es igual a 4 (es decir, r + s = 4), y multiplicando r y s produce –5 (r × s = –5). Si existen, entonces r y s son las dos y únicas dos soluciones.

Averiguar los factores que funcionan es esencialmente prueba y error. “El hecho de que de repente tengas que cambiar a un modo de adivinar te hace sentir como si las matemáticas fueran confusas o no sistemáticas”, dijo el Dr. Loh.

Adivinar también se vuelve engorroso para las cuadráticas con números grandes, y solo funciona perfectamente para problemas que están diseñados para tener respuestas enteras.

El método del Dr. Loh elimina este juego de adivinanzas. Pero para muchos estudiantes de álgebra, el revoltijo de símbolos algebraicos sigue siendo confuso. Entonces, el Sr. Wong les dice que dibujen una parábola.

“Si lo grafica, es mucho más fácil para los niños entender lo que está pasando”, dijo.

Este método alternativo para resolver ecuaciones cuadráticas utiliza el hecho de que las parábolas son simétricas.

El mismo método también funciona para ecuaciones que no se pueden factorizar fácilmente.

Ahí es cuando los estudiantes recurren a la fórmula cuadrática. Pero a menudo lo recuerdan mal (la derivación habitual es un poco complicada que implica una técnica llamada «completar el cuadrado») y obtienen las respuestas incorrectas.

El método del Dr. Loh permite a las personas calcular las respuestas sin recordar la fórmula exacta. (También proporciona una prueba más sencilla).

“Las matemáticas no se tratan de memorizar fórmulas sin significado, sino más bien de aprender a razonar lógicamente a través de declaraciones precisas”, dijo el Dr. Loh.

El Sr. Wong dijo que la versión del Dr. Loh es más fácil para los estudiantes porque «proporciona un método para resolver todo tipo de ecuaciones cuadráticas».

El Dr. Loh profundizó en la historia de las matemáticas para descubrir que los babilonios y los griegos tenían las mismas ideas, aunque su comprensión era limitada porque sus matemáticas se limitaban a números positivos. Fue solo más tarde cuando a la gente se le ocurrieron los conceptos de números negativos, cero e incluso conceptos más esotéricos como los números imaginarios: las raíces cuadradas de los números negativos.

Incluso descubrió que a un profesor de matemáticas en Sudbury, Canadá, llamado John Savage se le ocurrió un enfoque similar Hace 30 años. Un artículo del Sr. Savage en la revista The Mathematics Teacher en 1989 presentó casi el mismo procedimiento, aunque el Dr. Loh completó algunos matices de lógica al explicar por qué funciona.

«Honestamente, no puedo recordar exactamente dónde fue el momento eureka», dijo Savage en una entrevista telefónica. Pero parecía ser una mejora con respecto a la forma habitual de enseñar la asignatura.

Continuó usando ese enfoque, al igual que algunos otros maestros que conocía. Pero Internet todavía estaba en su infancia y la idea se desvaneció.

«Nunca se puso de moda», dijo Savage. “Mirando hacia atrás, debería haberlo empujado un poco más. Creo que es mucho más fácil que la forma tradicional «.

Savage dijo que estaba emocionado de ver la misma idea revivida 22 años después de su jubilación. «Estaba bastante interesado en leerlo ahora», dijo sobre el artículo del Dr. Loh. «Es bastante interesante que básicamente se le ocurrió la misma idea».



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